例1【2019届宝鸡市高三理科数学质检Ⅱ第17题】【很容易检测学生的思路积累和运算能力的题目】

设数列\(\{a_n\}\)满足\(a_1=2\)，\(a_{n+1}-a_n=2^n\)；

(1).求数列\(\{a_n\}\)的通项公式。

分析：由于\(a_{n+1}-a_n=2^n\)；

当\(n\ge 2\)时，\[a_n-a_{n-1}=2^{n-1}，\]

\[a_{n-1}-a_{n-2}=2^{n-2}，\]

\[\cdots，\cdots，\]

\[a_3-a_2=2^2，\]

\[a_2-a_1=2^1，\]

以上\(n-1\)个式子累加，得到

\(a_n-a_1=2^1+2^2+\cdots+2^n=\cfrac{2\cdot (2^{n-1}-1)}{2-1}=2^n-2\)

即\(a_n-2=2^n-2\)，故\(a_n=2^n\)，

当\(n=1\)时，\(a_1=2\)满足上式，故\(a_n=2^n(n\in N^*)\)；

错解由于\(a_1=2\)，令\(n=1\)，由\(a_{n+1}-a_n=2^n\)得到\(a_2=4=2^2\)；

同理\(a_3=2^3\)，\(a_4=2^4\)，\(\cdots\)，

故\(a_n=2^n\)。

错因分析：这种解法为不完全归纳法，故算理错误。

(2).证明：数列\(\{a_n\}\)为等比数列。

分析：由于\(a_{n+1}-a_n=2^n\)；

当\(n\ge 2\)时，\[a_n-a_{n-1}=2^{n-1}，\]

\[a_{n-1}-a_{n-2}=2^{n-2}，\]

\[\cdots，\cdots，\]

\[a_3-a_2=2^2，\]

\[a_2-a_1=2^1，\]

以上\(n-1\)个式子累加，得到

\(a_n-a_1=2^1+2^2+\cdots+2^n=\cfrac{2\cdot (2^{n-1}-1)}{2-1}=2^n-2\)

即\(a_n-2=2^n-2\)，故\(a_n=2^n\)，

当\(n=1\)时，\(a_1=2\)满足上式，故\(a_n=2^n(n\in N^*)\)；

则\(\cfrac{a_{n+1}}{a_n}=\cfrac{2^{n+1}}{2^n}=2\)，又\(a_1=2\)，

故数列\(\{a_n\}\)为首项为2，公比为2的等比数列。